贝特朗悖论

贝特朗悖论是概率论的经典问题。题目是：随机取圆的一条弦，求该线的长度大于该圆的内接正三角形变长的概率。贝特朗给出3中解答，答案概率分别是1/2，1/3，1/4，具体题目见http://baike.baidu.com/view/1258843.htm。

数学是确定的。一般地，我们从自然语言提炼出信息，变成数学语言，数学语言求解得出答案。关于贝特朗悖论，不少教科书说出现该悖论是”随机”的理解不同所导致的。我不同意，如果有歧义，那么必定是在”自然语言–>数学语言”这个环节出现。而”随机取圆的一条弦”本身就是数学语言，我不认为这有歧义。

我认为答案是唯一的。在Google搜索”贝特朗悖论”的前10页文章的解答中，主要有以下几个观点：

1）三个答案均正确，原因在于”均匀分布”的假设不同，见这篇。或者归于定义不明确，见这篇。

2）某大学学报《关于贝特朗悖论的新思考》一文经大量微积分运算得出只有1/4正确。典型的中国式学术，为的就是足够复杂，乱七八糟一堆公式以至于别人看不懂以显示自己牛B。

3）从点的”对等关系”得出1/3是正确的，其它均错误，给出了错误原因，这篇。说白点，就是其它两种的”点”对应到圆周上的”点”的数目不同。

4）其它要收钱下载不了的论文没看。

我认为这些全是错误的，其中1）错得最离谱。2）没细看，不过没点出错误所在。3）虽是错误，但最接近。

问题的本质在于”怎么’画’一条随机的弦“。以下几种是随机的弦吗？

1）随机取圆内（包括圆周）的两点，连成直线，取弦。

2）随机取圆周上两点，连线。

3）随机取圆内（包括圆周）的一点，与圆心连线，作过该点且与该连线相垂直的弦。

上面那些是随机的？

1）不是。我们把随机的弦化作点的随机来处理，必须是一对一的关系方可认为它们相等（参见无穷怎么判断相等）。2）是。3）不是，因为过圆心的弦没法表示。

问题就出在这里，得出概率为1/4的做法没有把所有直径算进去，这是其错误的地方，不是其他原因。得出概率为1/2的做法不是一对一，即它们都不等，如何比较？上面的做法3）解释了这点。

回到原题，得出1/3的结论是正确的。它根据的是上面随机取弦的第二种做法。如果你认真在看这篇文章，你会发觉原题的做法和上面方法2的取随机弦做法有些不同，它们可以把点平移到一个固定的点吗？怎么证明呢？

在回答之前，再看看下面这几种做法，它们可以作出随机的弦吗？

1）事先选定圆周上的一点，随机选[0,180]度一实数，以约定的正方向取过该事先选定的点的一条弦；再随机选定[0,2*pi*r]的一实数，将选定的点绕圆周移动该实数的距离（约定好正方向），取该弦。

2）随机选取0～360度某一角度，过圆心作该角度的直径；随机选取[-r，r]一实数（约定一个正方向，可由右手定律约定），移动该直径，取弦。

3）为该单位圆建立好直角坐标系，原点和圆心重合，对圆的任一条弦，引过(0,r)点的垂线，把所有”垂点”的集合即为S；随机选取集合S中的一点，按上面放顺序作出一条弦。

上面三种做法都是可以的。特别的，第一种就是原题作出1/3概率的方法。其它两种难计算，但我相信它们能算出1/3的概率。

总结：

按上面的分析，得出1/4的概率是因为直径没有算进去，设所有弦数量为x1，直径数量为x2，大于内接正三角形边长的弦数量为x3，可以由x3/x1=1/3；(x3-x2)/x1=1/4；算出x2/x1=1/12。很不可思议的结论，直径数量竟然占所有弦的1/12。然而在涉及无穷多的时候，很多结论不是直觉所能接受的。我们知道2n和4n（n是自然数）的个数是一样多的，那么随机取一非负数，该数为2n和该数为4n的概率是一样的，足够不可思议吧！或许我们需要对无穷大的比较作出一定的修正和解释，测度论的出现就是用来处理这些无穷多元素之间的大小关系的，而非来”和谐”模棱两可允许歧义的数学的。

题外话：由于Google退出中国的影响，本打算详细写这篇文章的计划也放弃了，博客流量虽少，90%以上是google带来的，如没有该搜索引擎，博客便少了分享的动力，写博客也只是为了自己看，既然为了自己看，就不必那么详细。有问题欢迎讨论。